MATEMÁTICA EXERCICÍOS DE P.A

  Denomina-se Progressão Aritmética, ou simplesmente P.A., toda sequência de números em que a diferença entre cada número, a partir do segundo, e o seu antecedente é constante. Genericamente um P.A. é representada por:
a₁, a₂, a₃, a₄, . . . ,a_{n - 1}, a_n, . . .     Os números que constituem uma P.A. são denominados termos. Um P.A. pode ser limitada ser for constituida por um número finito de termos ou ilimitada se tiver infinitos termo.
   Denomina razão de uma P.A. a diferença constante obtida por
r = a₂ - a₁ =a₃ - a₂ = . . . = a_n - a_{n - 1}
Da igualdade acima, temos que:
a₂ = a₁ + r
a₃ = a₂ + r = a₁ + 2r
a₄ = a₃ + r = a₁ + 3r
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a_n = a_{n - 1} + r = a ₁ + (n - 1)·r, onde n∈ N e n ≥ 2.
A fórmula a_n = a₁ + (n - 1)·r   denomina-se fórmula do termo geral de uma P.A. 

 Exemplos
 a) Determinar a razão das progressões a seguir e classifique em crescente ou decrescente: 

 1) (5, 8, 11,. . .)  →r = 8 - 5 = 11 - 8 = 3 →r > 0 (P.A. crescente).
 2) (20, 15, 10, . . . )  → r = 15 - 20 = 10 - 15 = -5→r < 0 (P.A. decrescente).
 3) (1,00, 1,25, 1,50, ..., 2,50)  → r = 1,25 - 1,00 = 0,25 →r > 0 (P.A. crescente).
 3) (1, 3/2, 2, 5/2, ...)  → r = 3/2 - 1 = 1/2→r > 0 (P.A. crescente).

 b)  Determinar o vigésimo termo da P.A. : 2, 15, 28, . . .
 Salução:  Do exercício temos: a₁ = 3        a₂ = 16         n = 20      e      r = 15 -2 = 13.
Para aqueles que gostam de fórmulas, aplica-se a fórmula do termo geral
a_n = a₁ + (n - 1)·r
a₂₀ = 2 + (20 - 1)·13
a₂₀ = 2 + 19·13
a₂₀ = 2 + 247
a₂₀ = 249

 c)  Determe o primeiro termo de uma P.A., em que o nono termo é 7/2 e a razão 1/2.
 Salução:
 Do exercício temos:   a_n = 7/2        n = 9      e      r = 1/2.
Aplicando-se a fórmula do termo geral
a_n = a₁ + (n - 1)·r
 a₁ = a_n - (n - 1)·r
 a₁ = 7/2 - (9 - 1)·1/2
  a₁ = 7/2 - 4 = (7 - 8)/ 2 = -1/2 → a₁ = -1/2.

 d) quantos termos tem uma P.A. em que o 1º termo é - 5, o último termo é 44 e a razão é 7?
 Salução:
 Do exercício temos:  a₁ = - 5         a_n = 44      e      r = 7.
 n = [44 - (-5)] + 1
              7
 n = 8.

 e)  O sexto termo de uma P.A. de dez termos é 93 e o primeiro termo é 3. Determine a razão dessa P.A.
 Salução:
 O enunciado do exercício nos fornece os seguintes dados: a₁ = 3           a_n = 93     e      n = 6.
 r = 93 - 3 = 18
         6 - 1

f)  Interpolar e escrever 7 meios aritméticos entre 2 e 50.
 Salução:
 O enunciado do exercício nos fornece os seguintes dados: a₁ = 2       a_n = 50              nº de termos a ser inserido entre 2 e 50 = 7.
r = 50 - 2 = 48 = 6
         7 + 1      8
Resp.:2, 8, 14, 20, 26, 32, 38, 44, 50

 Soma dos termos de uma P.A.

 Partindo-se de um exemplo fica mais fácil de entender como se soma o n primeiros termos de uma P.A.
Calcurar a soma dos 10 primeiros números N*.
Solução:
Vamos simbolizar a soma dos n primeiros termos de uma P.A. por S_n
Sendo n = 10, então, S₁₀ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55

 Podemos somar os 10 primeiros números naturais N* como segue:
2·S₁₀ = (1 + 10 )+ (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) + (6 + 5) + (7 + 4) + (8 + 3) + (9 + 2) + (10 + 1) = 11·10

 Se 2·S₁₀ = 11·10

 então S₁₀ = 110÷2 = 55.

 Considerando-se a P.A.: a₁, a₂, a₃ , . . . , a_{n - 2}, a_{n - 1}, a_n

 A soma dos n termos, indicado por S_n, será:
S_n = a₁ + a₂ + a₃ + . . . + a_{n - 2} + a_{n - 1} + a_n(I)
como a ordem das parcelas não altera a soma, podemos escrever:
S_n = a_n + a_{n - 1} + a_{n - 2} + . . . + a₃ + a₂ + a₁(II)

  Ao somarmos as igualdades (I) e (II) e agrupando os termos de uma forma conveniente, temos:
2·S_n = (a₁ + a_n) + (a₂ + a_{n - 1}) + (a₃ + a_{n - 2}) + . . . + (a_{n - 2} + a₃) + (a_{n - 1} + a₂) +
(a_n + a₁)
resultando, dessa forma, n parcelas iguais a (a₁ + a_n),onde

 Exemplos

 a)  Obter a soma termos da P.A. (-6, -3, 0 , . . . , 21)

 Solução:
São dados do problema: a₁ = -6      a_n = 21
r = 3. Falta descobrir o números de termos da sequência.
Aplicando-se a fórmula do termo geral da P.A. , temos:
Se n = 10, entã,o a soma dos dez termos da P.A. é:

 Portanto a soma dos dez primeiros termos da P.A é 75.

 b)  Em uma P.A de 30 termos, temos que a₁₅ + a₁₆ = - 6. Determine a soma dos 30 termos dessa P.A.

 Solução:
Em toda P.A. finita a soma de dois termos equidistante dos extremos é igual à soma dos extremos. Do problema temos que a₁₅ + a₁₆ = a₁ + a₃₀= - 6. Sabemos do problema que n = 30 e substituindo os valores na fórmula da soma, temos:

 Logo, a soma dos 30 termos da P.A. é - 90.

Pense!! Seja criativo!! Utilize seus conhecimentos e busque estratégias práticas para resolver cada um dos problemas propostos antes de "clicar" na alternativa que julgar correta.

1)(MACKENZIE - SP) O trigésimo primeiro termo de uma P.A. de primeiro termo 2 e razão 3 é:

2)(FEI - SP) A razão de uma progressão artmética de 10 termos, em que o primeiro termo é 42 e o último é -12, é:

3)(PUC - SP) O 24º termo da P.A. (0,5; 2; 3,5; . . .) é:

4)(CESGRANRIO - SP)  O primeiro termo de uma P.A., simbolizado pela letra a, cuja razão é 13 satisfaz a seguinte condição 0 ≤ a ≤ 10. Se um dos termos da progressão é 35, o valor de a é:

5)(PUC - SP) Três números positivos estão em P.A. A soma deles é 12 e o produto 18. O termo do meio é:

6)(H.M.)  O primeiro termo de um P.A. é 5, a razão é 13, então o décimo quinto termo dessa P.A. vale:

7)(Sta Casa - SP) Seja uma P.A. de 7 termos e razão 6. Retirando-sde o 2º, o 3º, o 5º e o 6º termos dessa P.A., a squência restante:

8)(PUC - RS) As medidas dos ângulos internos de um triângulo estão em P.A. de razão 20º. O menor ângulo desse triângulo mede:

9)(UF - Viçosa)  Em uma progressão aritmética, a soma do primeiro com o sétimo termos é 30 e a razão é igual ao primeiro termo acrescido de uma unidade. O primeiro termo e a razão dessa P.A. são, respectivamente:

10)(CESGRANRIO - SP)  Em uma P.A. de 41 termos e de razão 9, a soma do termo do meio com o seu antecedente é igual ao útimo termo. Então, o termo do meio é:

11)(MACK - SP) Nuna progressão aritmética, onde a₉ + a₃₇ = 94, a soma dos 45 primeiros termos é:

12)(CESGRANRIO - SP)  Se X = (1 + 3 + . . . + 49) é a soma dos ímpares de 1 a 49, se Y = (2 + 4 + . . . + 50) é a soma dos pares de 2 a 50, então X - Y vale:

13)(GV - SP) Um atleta corre sempre 500 metros a mais que no dia anterior. sabendo-se que no final de 15 dias ele correu um total de 67 500 metros, o número de metros percorrido no 3º dia foi:

14)(Sta. Casa - SP) A soma dos 20 primeiros termos de uma progressão aritmética é igual ao quíntuplo da soma de seus 5 primeiros termos. Nestas condições, o 1º termo está para a razão, assim como:

15)(H.M.) Sabendo-se que o último termo de uma P.A. é 10, a razão é 1/2 e a soma é 72. O valor de n é:

16)(FGV - SP) Quantos termos devemos considerar em uma P.A. (-7, -3, . . .) para que a soma valha 3 150?:

17)(FGV - SP)  O terceiro termo de uma P.A. é 11 e a razão é 4; a soma dos 20 primeiros termos é:

18)(FUVEST - SP) Em um pentágono convexo os ângulos internos formam uma P.A.. O valor de um desses ângulos é:

19)(Sta. Casa - SP) Seja S_n = 2n² - 8n, com n∈N*, a expressão da soma dos n primeiros termos de uma P.A.. A razão dessa P.A. é:

20)(FATEC - SP) A soma dos nove primeiros termos de uma P.A. de raz&atild;o 2 é 9. O terceiro termo dessa progressã é: