MATEMÁTICA SISTEMAS LINEARES

Introdução aos sistemas lineares

Esta página trata sobre equações lineares e inicia mostrando uma aplicação de matrizes e sistemas lineares. As equações lineares assim como os sistemas de equações são muito utilizados no cotidiano das pessoas.

Exemplo: Uma companhia de navegação tem três tipos de recipientes A, B e C, que carrega cargas em containers de três tipos I, II e III. As capacidades dos recipientes são dadas pela matriz:

Quais são os números de recipientes x₁, x₂ e x₃ de cada categoria A, B e C, se a companhia deve transportar 42 containers do tipo I, 27 do tipo II e 33 do tipo III?

Montagem do sistema linear

4 x₁ + 5 x₂ + 2 x₃ = 42
3 x₁ + 3 x₂ + 2 x₃ = 27
2 x₁ + 2 x₂ + 2 x₃ = 33

Arthur Cayley (1821-1895): Matemático inglês nascido em Richmond, diplomou-se no Trinity College de Cambridge. Na sua vida, Cayley encontrou rivais em Euler e Cauchy sendo eles os três maiores produtores de materiais no campo da Matemática. Em 1858, Cayley apresentou representações por matrizes. Segundo ele, as matrizes são desenvolvidas a partir da noção de determinante, isto é, a partir do exame de sistemas de equações, que ele denominou: o sistema. Cayley desenvolveu uma Álgebra das matrizes quadradas em termos de transformações lineares homogêneas.

Equação linear

É uma equação da forma

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + a₁₃ x₃ + ... + a_1n x_n = b₁

onde

• x₁, x₂, ..., x_n são as incógnitas;

• a₁₁, a₁₂, ...,a_1n são os coeficientes (reais ou complexos);

• b₁ é o termo independente (número real ou complexo).

Exemplos de equações lineares

1. 4 x + 3 y - 2 z = 0

2. 2 x - 3 y + 0 z - w = -3

3. x₁ - 2 x₂ + 5 x₃ = 1

4. 4i x + 3 y - 2 z = 2-5i

Notação: Usamos R[x] para a raiz quadrada de x>0.

Exemplos de equações não-lineares

1. 3 x + 3y R[x] = -4

2. x² + y² = 9

3. x + 2 y - 3 z w = 0

4. x² + y² = -9

Solução de uma equação linear

Uma sequência de números reais (r₁,r₂,r₃,r₄) é solução da equação linear

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + a₁₃ x₃ + a₁₄ x₄ = b₁

se trocarmos cada x_i por r_i na equação e este fato implicar que o membro da esquerda é identicamente igual ao membro da direita, isto é:

a₁₁ r₁ + a₁₂ r₂ + a₁₃ r₃ + a₁₄ r₄ = b₁

Exemplo: A sequência (5,6,7) é uma solução da equação 2x+3y-2z=14 pois, tomando x=5, y=6 e z=7 na equação dada, teremos:

2×5 + 3×6 - 2×7 = 14

Sistemas de equações lineares

Um sistema de equações lineares ou sistema linear é um conjunto formado por duas ou mais equações lineares. Um sistema linear pode ser representado na forma:

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ +...+ a_1n x_n = b₁
a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ +...+ a_2n x_n = b₂
... ... ... ...
a_m1 x₁ + a_m2 x₂ +...+ a_mn x_n = b_n

onde

• x₁, x₂, ..., x_n são as incógnitas;

• a₁₁, a₁₂, ..., a_mn são os coeficientes;

• b₁, b₂, ..., b_m são os termos independentes.

Solução de um sistema de equações lineares

Uma sequência de números (r₁,r₂,...,r_n) é solução do sistema linear:

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ +...+ a_1n x_n = b₁
a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ +...+ a_2n x_n = b₂
... ... ... ...
a_m1 x₁ + a_m2 x₂ +...+ a_mn x_n = b_n

se satisfaz identicamente a todas as equações desse sistema linear.

Exemplo: O par ordenado (2,0) é uma solução do sistema linear:

2x + y = 4
x + 3y = 2
x + 5y = 2

pois satisfaz identicamente a todas as equações do mesmo, isto é, se substituirmos x=2 e y=0, os dois membros de cada igualdade serão iguais em todas as equações.

Consistência de Sistemas Lineares

O número de soluções de um sistema linear determina a sua classificação de duas maneiras com relação à sua consistência:

Sistema possível ou consistente: Quando tem pelo menos uma solução.

1. Se tem uma única solução, o sistema é determinado.

2. Se tem mais que uma solução, o sistema é indeterminado.

Sistema impossível ou inconsistente: Se não admite qualquer solução.

Exemplos de sistemas com respeito às suas soluções

Sistema com uma única solução: As equações lineares abaixo representam duas retas no plano cartesiano que têm o ponto (3,-2) como interseção.

x + 2y = -1
2x - y = 8

Sistema com infinitas soluções: As equações lineares representam retas paralelas sobrepostas no plano cartesiano, logo existem infinitos pontos que satisfazem a ambas as equações (pertencem a ambas as retas).

4x + 2y = 100
8x + 4y = 200

Sistema que não tem solução: As equações lineares representam retas paralelas no plano cartesiano, logo, não existem pontos que pertençam às duas retas.

x + 3y = 4
x + 3y = 5

Sistemas equivalentes

Dois sistemas são equivalentes se admitem a mesma solução.

Exemplo: São equivalentes os sistemas S1 e S2 indicados abaixo:

pois eles admitem a mesma solução x=10 e y=2.

Notação: Quando dois sistemas S1 e S2 são equivalentes, usamos a notação S1~S2.

Operações elementares sobre sistemas lineares

Existem três tipos de operações elementares que podem ser realizadas sobre um sistema linear de equações de forma a transformá-lo em um outro sistema equivalente mais simples que o anterior. Na sequência trabalharemos com um exemplo para mostrar como funcionam essas operações elementares sobre linhas. O segundo sistema (o que aparece à direita) já mostra o resultado da ação da operação elementar. Nas linhas iniciais de cada tabela, você encontra a operação que foi realizada.

1. Troca de posição de duas equações do sistema

   Troca a Linha 1 com a Linha 3
   x + 2y - z = 2 2x-3y+2z=0 4x + y - 5z = 9	~	4x + y - 5z = 9 2x-3y+2z=0 x + 2y - z = 2

2. Multiplicação de uma equação por um número não nulo

   Multiplica a Linha 1 pelo número 3
   x + 2y - z = 2 2x-3y+2z=0 4x+y-5z=9	~	3x + 6y - 3z = 6 2x-3y+2z=0 4x+y-5z=9
   A equação resultante fica na linha 1

3. Adição de duas equações do sistema

   Adição da Linha 2 com a Linha 3
   x+2y-z=2 2x -3y + 2z = 0 4x + y - 5z = 9	~	3x+6y-3z=6 2x-3y+2z=0 6x - 2y - 3z = 9
   A equação resultante fica na linha 3

Resolução de sistemas lineares por escalonamento

Com o auxílio das três Operações Elementares sobre linhas, podemos resolver sistemas lineares. Vamos mostrar como funciona este processo através de um exemplo.

Exemplo: Consideremos o sistema com 3 equações e 3 incógnitas.

3x + y + z = 20
2x - y - z = -15
-4x + y -5z = -41

Observação: Usamos Li+Lj->Lj para indicar a soma da linha i com a linha j com o resultado na linha j. Usamos k Li->Li, para indicar que multiplicamos a linha i pela constante k e o resultado ficou na linha i.

Após o escalonamento, observamos que a solução obtida é exatamente fornecida pelo último sistema.

Sistemas lineares homogêneos

Um sistema linear é homogêneo quando os termos independentes de todas as equações são nulos. Todo sistema linear homogêneo admite pelo menos a solução trivial, que é a solução identicamente nula. Assim, todo sistema linear homogêneo é possível. Este tipo de sistema poderá ser determinado se admitir somente a solução trivial ou indeterminado se admitir outras soluções além da trivial.

Exemplo: O sistema

2x - y + 3z = 0
4x + 2y - z = 0
 x -  y + 2z = 0

é determinado, pois possui a solução x=0, y=0 e z=0.

Regra de Cramer

Esta regra depende basicamente sobre o uso de determinantes. Para indicar o determinante de uma matriz X, escreveremos det(X).

Seja um sistema linear com n equações e n incógnitas:

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ +...+ a_1j x_j +...+ a_1n x_n = b₁
a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ +...+ a_2j x_j +...+ a_2n x_n = b₂
... ... ... ...
a_n1 x_n + a_n2 x_n +...+ a_nj x_j +...+ a_nn x_n = b_n