MATEMÁTICA----( P.G)

 Definição de P.G.

 Dada a sequência de números: a₁, a₂, a₃, . . . , a_{n - 1}, a_n, . . . com todos os termos diferente de zero.

 Essa sequência denomina-se uma P.G. se: ,

onde  q é uma constante denominada razão da progressão geométrica.

 Exemplos

a)(2, 8, 32, 128, . . .) é um P.G. crescente de razão 4.

b)(4, 2, 1, 1/2, 1/4, . . .) é progressão geométrica decrescente de razão 1/2.

c) (1, -2, 4, -8, . . . ) é uma P.G. alternante de razão -2.

d) ( -7, -14, -28,. . . ) é uma P.G. decrescente de razão 2.

e) (5, 5, 5, 5,. . .) é uma P.G. estacionária de razão 1.

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 Termo geral de uma P.G.

 A sequência a₁, a₂, a₃, . . . , a_{n - 1}, a_n, . . . é um P.G. que todos os termos, a partir do segundo, podem ser escritos em função do primeiro a₁ e da razão q. Vejamos:

 podemos observar que:

o 2º termo da P.G. é a₂ = a₁·q.

o 3º termo da P.G. é a₃ = a₁·q².

o 3º termo da P.G. é a₄ = a₁·q³.

.....................................................

Generalizando, temos que o n-ésimo termo da P.G. é:

a_n = a₁·q^{n - 1}

A essa generalização damos o nome de fórmula do termo geral da P.G..

 Exemplos

 1) Determine o 10º termo da P.G. (4, 8, 16,. . .).

Solução:

São dados do problema:

a₁ = 4

q = 8/4 = 2

n = 10.

Para os leitores que gostam de fórmulas, a fórmula do termo geral da P.G. é:

a_n = a₁·q^{n - 1}

Substituindo os dados na fómula, temos:

a₁₀ = 4·2^{10 - 1}

a₁₀ = 4·2⁹

a₁₀ = 4·512

a₁₀ = 2 048, logo o valor do décimo termo da P.G. é 2 048.

 2) Qual é a razão da P.G. de termos reais onde o terceiro termo é 18 e o sexto termo é 486?

Solução:

Do problema temos: a₃ = 18
a₆ = 486

pede-se o valor da razão q.

Da definição de P.G. temos que a₆ = a₃·q³(I)

Substituindo os valores em (I), temos: 486 = 18·q³

486÷18 = 18÷18·(q³)

27 = q³

q = 27^1/3 → q = 3, logo o valor de q = 3.

 3) De quantos termos é constituída a P.G. de razão 6, a₁ = 5 e a_n = 6 480.

Solução:

Dados do problema: q = 6, a₁ = 5 e a_n = 6 480.

O problema pede o valor de n.

 Sabendo-se que a fórmula do termo geral da P.G. é a_n = a₁·q^{n - 1}

Substituindo os dados do problema na fórmula, temos: 6 480 = 5·6^{n - 1}

Dividindo-se os dois membros da igualdade po 5, temos:

1 296 = 6^{n - 1} → 6⁴ = 6^{n - 1} → n - 1 = 4 → n = 5.

Portanto o número de termos da P.G. é 5.

 Soma dos n primeiros termos de uma P.G.

 Dada a P.G. finita   a₁, a₂, a₃, . . . , a_{n - 1}, a_n

 cuja soma dos termos é: S_n = a₁ + a₂ + a₃ + . . . + a_{n - 1} + a_n (I)

Multiplicando-se os dois membros da equaço (I) pela razão q, temos:

q·S_n = q·a₁ + q·a₂ + ·a₃ + . . . + q·a_{n - 1} + q·a_n organizando o 2º membro da igualdade

mediante substituição, temos: S_n·q = a₂ + a₃ + a₄ + . . . + a_{n - 1} + a_n + a_n·q (II).

 Subtraindo-se (II) - (I), obtemos: S_n·q - q = a_n·q - a₁ que pode ser representada por:

  Se fizermos a_n em função do primeiro termo, basta substituir a_n por a₁·q^{n - 1}.
Vejamos:

 Exemplos

 a) Qual é a soma dos 11 primeiros termos da P.G (3, 6, 12, . . .).

 Solução:

 Do problema, temos a₁ = 3 e q = 2. Primeiramente vamos determinar o valor do 11º termo: a_n = a₁·q^{n - 1}  →  a₁₁ = 3·2^{11 - 1}  →  a₁₁ = 3·2¹⁰   →  a₁₁ = 3· 1 024.

Logo    a₁₁ = 3 072.

 Então:   → 

Portanto a soma dos 11 primeiros termos da P.G. é 6 141.

 b) Calcular a soma dos termos de uma P.G., em a₁ = 9, q = 2 e a_n = 288.

 Solução:

 Dados do problema:

a₁ = 9     a_n = 288     q = 2

Empregando-se a fómula temos:

 Soma dos termos de uma P.G. infinita

 Consideremos a P.G. infinita a₁, a₂, a₃, a₄, . . . ,a_{n - 1}, a_n, . . .

com -1 < q <1. Nessas condições a soma converge para um valor que indicamos por

S_∞ e que será calculado através da fórmula:

 Exemplo

 Calcule a soma dos termos da P.G.